two envelopes problem
今回は「２封筒問題」をネタ一席うかがいます。参考書はこれです。
三浦俊彦著「思考実験リアルゲーム〜知的勝ち残りのために」
この本自体はあまり面白くなかったので、損をした気分です。私が損をしたからには他の関係者が得をしたはずなので、著者と出版社と書店は私に感謝するように。アマゾンに「論外 久しぶりに金返せといいたくなった」というボロクソ書評がありますが、それもいたしかたないでしょう。とはいえ「思考実験リアルゲーム」の内容で最も重要な「２封筒問題」は非常に面白く、じゅうぶん考えるに値します。
【ゲームのルール】
お金が入った封筒が２つあります。片方の封筒に入っている金額は、もう片方の２倍です。あなたは、最初にどちらか片方の封筒を選び、中身を見る事ができます。その封筒をそのままもらっても良いですし、交換しても良いです。【問題】
最初に選択した封筒には現金６万円が入っていました。
・封筒を交換する方が得ですか？
・交換しない方が得ですか？
・どちらでも同じですか？
【こたえ】
最初に選んだ封筒が金額の小さい封筒である確率は１／２で、金額の大きい封筒である確率も１／２です。選択しなかった封筒に入っている金額は、確率１／２で１２万円または３万円です。したがって、もう片方の封筒に入っている金額の期待値は・・・１／２×１２万円＋１／２×３万円＝７万５千円
封筒を交換すれば、そのまま６万円もらうよりも得です。
【かいせつ】
フツーに考えれば「封筒を交換してもしなくても、得するか損するかは同じ」ような気がします。それにもかかわらず「常に封筒を交換するほうが得」というのは、ちょっとおかしいですよね。これが２封筒問題のパラドックスです。
確率統計に関する数学とベイズ理論を理解していれば、この問題の本当の答えを考えることができます。しかし、もっと簡易なレベルでもだいたい説明できそうなので、多くの人が２封筒問題の解説をネットに書き表しています。・読みやすいけれど、納得しにくい解説
http://philonous.blog111.fc2.com/blog-entry-54.html
http://imohorinikki.com/archives/291・理解しやすいけど、もうひとつスッキリしない解説
http://d.hatena.ne.jp/shinzor/20131207/1386377133・なんとなく正しそうだけれど、読む気がおきない解説
http://the-apon.com/coffeedonuts/wakeupfromtwoenvelope.html
http://www.math.keio.ac.jp/~ishikawa/QLEJ/indexj038.html・検索した中では最良の解説
http://d.hatena.ne.jp/kojette/20090811/1249917024最後の「最良の解説」は、そこそこ納得しやすいものです。これをヒントにベイズ理論を加え、私なりに２封筒問題を考えました。
プレーヤーが選択した封筒に６万円が入っていたということは、ゲーム主催者が「３万円と６万円の封筒」または「６万円と１２万円の封筒」を用意していたことになります。・３万円と６万円の封筒セットである確率が１／２
・６万円と１２万円の封筒セットである確率が１／２なぁんてことを上記した【こたえ】では、勝手に想定していますが、【ゲームのルール】にはそんなことは書いてありません。
・３万円と６万円の封筒Ａセットである確率が９／１０
・６万円と１２万円の封筒Ｂセットである確率が１／１０もしもこんな確率だったら、もう片方の封筒に入っている金額の期待値は・・・
１／１０×１２万円＋９／１０×３万円＝３万９千円この場合、最初に選択した封筒に６万円が入っていたら、封筒を交換しないで、そのまま６万円もらうほうが得ですね。９／１０や１／１０といった確率を作り出すのは簡単です。「３万円と６万円の封筒Ａセット」を１組、「６万円と１２万円の封筒Ｂセット」を９組用意しておいて、その中から１組をランダムに取り出してプレーヤーに提示すれば良いわけです。
なお、ここでの議論で事後確率に関する「ベイズ理論」をさりげなく使いました。しかし「ベイズとは何ぞや？」などと気にする必要はありません。ベイズ理論は、ごく自然な考え方なんですね。
最初に選択した封筒に３万円だったら・・・
・Ａセットである確率が１０／１０最初に選択した封筒に６万円だったら・・・
・Ａセットである確率が９／１０
・Ｂセットである確率が１／１０最初に選択した封筒に１２万円だったら・・・
・Ｂセットである確率が１０／１０最初に選択した封筒に６万円が入っていたら、交換して得するケースもあれば損するケースもあるということです。そして、もしもＡかＢかの確率が１／２だったら・・・つまり、ＡセットとＢセットを１組ずつ用意しておいて、ランダムにどちらかを提示するゲームだったら、最初に６万円を引いたプレーヤーは、封筒を交換したほうが本当に（期待値としては）得をします。
プレーヤーが選択した封筒の中身が１０万円だったらどうでしょう？。この場合は、ゲーム主催者が「５万円と１０万円の封筒」または「１０万円と２０万円の封筒」を用意していたことになります。そのどちらなのかはプレーヤーにはわかりませんし、どちらなのかという確率も不明だったら、封筒を交換してもしなくても同じです。確率がわからなければ期待値を計算することもできません。
最初から封筒を交換する（またはしない）ことに決めておいて、選択した封筒の中を見ないで交換しても（またはしなくても）得か？損か？は、同じになります。
ただし、プレーヤーが「この主催者には２０万円の賞金は用意できないだろう」と推論する根拠が何かあるのなら、交換しないほうが良いでしょう。しかし、そのように推論する手がかりが何もなかったとしたら・・・
三浦俊彦著「思考実験リアルゲーム」が良くないのは、「主観確率」という言葉を使って、程度の低いゴマカシをしているところです。「手がかりが何もないから確率１／２として良いのだ」と言い切っているのですね。これはいけません。本当に何も手がかりがなければ「とりあえず確率１／２を想定する」というのはアリです。しかし、ず〜っとそのまま押し通すのはムリがあります。たとえば、先に他のプレーヤーがゲームに挑戦して、その結果を観察すれば情報が増えます。
・封筒の中身はだいたい２万円から５０万円くらいだろう。
・高額の封筒セット（１セット＝２つの封筒の組）は比較的少ないようだ。
・千円単位の封筒は無くて、すべて１万円単位のようだ。こういった情報があれば、たとえば最初に５０万円の封筒を選択したときに「確率１／２で１００万円ゲット」というチャレンジをしないでしょう。「なんでも確率１／２」という最初の想定から、金額別の確率分布を変化させていく推論のことを「ベイズ更新」と呼びます。
プレーヤーが選択した封筒が６万円だったときも、１０万円だったときも、常に「もう片方の封筒の金額が２倍である確率が１／２である」ということをゲーム主催者が保証したら、どうなるでしょう？。この条件ならば、封筒を交換するほうが得になりそうです。しかし実際は「そんなハズはない」のです。「常に封筒を交換する」という戦略と「常に封筒を交換しない」という戦略に違いが生じるハズはありません。このパラドックスが気になると、明日の朝まで悩み続けてしまいそうです。寝不足を避けたい方はすぐに続きを読んでも良いですが、しばらく考えてみるのも悪くないでしょう。
ここでゲームのルールを少し変えます。プレーヤーが封筒を選択してからコインを投げて、表が出たら賞金２倍、裏が出たら賞金半額にするルールにします。このルールなら、コインを投げて倍額賞金にチャレンジするほうが（期待値の問題としては）本当に得をします。実際に数十回試せば得することを、簡単に確かめることができるでしょう。
したがって、常に「もう片方の封筒の金額が２倍である確率が１／２である」ということをゲーム主催者が保証すれば、常に封筒を交換したほうが得になります。しかし実際は、そのような封筒を準備することはできません。プレーヤーが封筒を選択してから「もう片方の封筒に確率１／２で２倍または半額のお金を入れる」ことなら可能です。しかし、最初から準備しておいた２つの封筒セットを使うのであれば、それはできません。
プレーヤーが選択しなかった「もう片方の封筒の金額」が２倍である確率が１／２で、半分である確率が１／２になるような封筒セットを準備することはできません。「そんなバカな？」と思った方はカン違いをしています。
たしかにプレーヤーが最初の封筒を選択する前であれば「選択しなかった方の封筒の金額が２倍である確率が１／２である」ことは間違いありません。しかし、いったん選択して封筒の中身を見てしまったら、もう確率１／２ではなくなります。
封筒の中身を見るだけで、どうして確率が変わるのか？
たとえばステップ３で想定したような状況（最低１万円で、最高額は５０万円）で、最初に５０万円の封筒を引いたら「確率１／２で１００万円」を期待しにくいですし、１万円の封筒を引いたら「もう片方が５千円ということは無いだろう」と推理できます。
もちろん、そんなリアルなハナシでは納得できない人のほうが多いでしょう。なにしろ本のタイトルが「思考実験」ですから、この本の中でも「予算無制限だったらどうだ？」「千円、百円どころか小数点つきの細かい金額もアリならどうだ？」という議論が展開されます。そこまで何でもアリにすれば、ようやく数学の出番です。プレーヤーが最初に選択した封筒の中身が、６万円と６万５千円の間の「63050.87円」だったとしましょう。ちなみに小数点以下を２ケタに限定する必要はありません。この場合、主催者は・・・
（１）
６万円〜６万５千円のいずれかの金額を入れた封筒と
１２万円〜１３万円のいずれかの金額を入れた封筒
のセット（２）
３万円〜３万２千５百円のいずれかの金額を入れた封筒と
６万円〜６万５千円のいずれかの金額を入れた封筒
のセットこの（１）と（２）のセットを同じ数だけ用意しておいて、その中から１セットをランダムに選択してプレーヤーに提示するというダンドリをしなければなりません。
そして、すべての金額についてそのような封筒セットを用意することは不可能です。なぜなら、（１）の封筒セットは小額側の金額幅が５千円ですが、（２）のほうでは２千５百円です。そして、それらの封筒セットの数を同じにしないといけません。
ということは、プレーヤーが最初に選択した封筒の中身が「31500.25円」だった場合に対応するには、
（３）
３万円〜３万２千５百円のいずれかの金額を入れた封筒と
１万５千円〜１万６２５０円のいずれかの金額を入れた封筒
のセットこれらのセットも（１）（２）のセットと同じ数だけ用意しないといけません。金額の上限や下限を考えないのですから、プレーヤーが最初に選択した封筒の中身がさらに小額の「15100.12円」だった場合にも対応するため、さらに
（４）
１万５千円〜１万６２５０円のいずれかの金額を入れた封筒と
７５００円〜８１２５円のいずれかの金額を入れた封筒
のセットも同じ数だけ用意しないといけません。つまり、小額ゾーンほど高密度にして、どこまでも封筒セットを用意する必要があります。高額側の封筒セットも無限に用意しなくてはなりません。それは現実問題でも、数学の問題でも無理なハナシです。
ここはトバしてもらって構いませんが、いちおう数学の問題として確率密度関数で表すと、２ｆ(α)＝ｆ(α／２)
ｆ(α)＝Ａ／(２α)という形になります。αは金額で、Ａは正の定数です。確率はどんなαに対しても常に０以上であり、すべての確率を合わせると１にならないといけませんから、ｆ(α)をα＝０から∞まで積分して１になるように定数Ａを決めないといけませんが、それはできません。
∫ｆ(α)ｄα
＝∫Ａ／(２α)ｄα
＝(Ａ／２)・[log(α)]
＝(Ａ／２)・{log(∞)−log(０)}思いっ切り発散してしまいますよ。
数学はともかく、現実問題として面倒なのは「最初に選択した封筒の金額」が大きすぎる場合と小さすぎる場合のようです。だから、このゲームをＴＶバラエティー番組の１コーナーで行うのであれば、・セットＡ：１万円と２万円
・セットＢ：２万円と４万円
・セットＣ：４万円と８万円
・セットＤ：８万円と１６万円
・セットＥ：１６万円と３２万円
・セットＦ：３２万円と６４万円
・セットＧ：６４万円と１２８万円
・セットＨ：１２８万円と２００万円（業界で自主規制してる上限額）これだけの封筒セットを用意しておいて、参加者が最初に１万円か２００万円の封筒を選択してしまったら、やりなおして撮影するという、常識的な範囲で許される程度の合理的な演出で対応すれば「封筒を交換したほうが得になりそうな面白いゲーム」として放送することができるでしょう。それで物議をかもしても、私は知りません。
あえて際どい演出をせずに、こんなルールでも良いでしょう。
・１万円だったら→せめて２万円に交換してお持ち帰りいただく。
・２００万円だったら→大当たりということにする。
それでも、このゲームはヘンだ！いつも封筒を交換したほうが得だなんてヘンだ！と思った方がいるかもしれません。最初に選択した封筒の中も見ないで「いつも封筒を交換したほうが得」というわけではありません。そこは誤解しないでください。ちゃんと封筒の中を見て、もし２００万円だったら交換しないでおき、それ以外のときは交換したほうが得（そのままの金額をもらうよりも期待値が大きい）ということですね。
この戦略が可能なのは「最高額が２００万円」ということを知っているからです。この情報が無いと、せっかく最初に２００万円の封筒をゲットしても、これを交換してしまったら大損をします。この大損する可能性があるので、その他のときに細かく得をすることと合わせて全体のバランスがとれます。
プレーヤーは「最高額が２００万円」という情報を活かせば、得をすることができます。この情報を活かさずに「いつも交換する」「いつも交換しない」というヤミクモな戦略をとれば、平均的にはどれも同じ結果になります。当然ですが、その期待値は、全１６個の封筒の平均金額になります。
「思考実験リアルゲーム」では、数学ではなく文章中心でアレコレ説明していますが、かえって問題をややこしくしており、しかも全然解決してくれませんでした。読んでいて、とても不満に感じました。三浦俊彦の本では「戦争論理学〜あの原爆投下を考える６２問」が非常に面白かったのですが、他の本はどれもこれも似たような内容に思われたので手を出さないでいました。先日、たまたま見かけた「思考実験リアルゲーム」がちょっと面白そうだったので、読んでみたのですね。歴史の知識と内容の重さからいって「戦争論理学〜あの原爆投下を考える６２問」のほうがタメになります。こちらはアマゾンのレビューも高い評価になっています。
三浦俊彦著「戦争論理学〜あの原爆投下を考える６２問」
以上の説明とは別に、もう少し簡単な説明を思いついたので追記します。片方の封筒に１万円、もう片方の封筒に２万円が入っているとします。プレーヤーは最初に１／２の確率で１万円の封筒を手にします。２万円の封筒を手にする確率も１／２です。
「常に封筒を交換しない」という戦略であれば、獲得金額の期待値は１万５千円です。これには文句がないでしょう
「常に封筒を交換する」という戦略であっても、やはり獲得金額の期待値は１万５千円です。最初に選んだ封筒が１万円なら交換して２万円をゲット、最初に選んだ封筒が２万円なら交換して１万円をゲットで、どちらになる確率も１／２ですから。
封筒の中身を見て「１万円が入っている」ということを確認した段階で、もう片方の封筒に入っている金額が５千円である確率と２万円である確率が１／２である・・・という仮定をすることは、実はできなかったというのが結論なのですね。
【ケースＡ】
もう一つの封筒に『最初に手にした封筒の金額』の２倍のお金が入っている確率と
【ケースＢ】
もう一つの封筒に『最初に手にした封筒の金額』の半分のお金が入っている確率は、等しく１／２です。
しかしながら、ケースＡとは「最初に安い封筒を選択した」ケースであって、ケースＢとは「最初に高い封筒を選択した」ケースです。だからケースＡの『最初に手にした封筒の金額』は安くて、ケースＢの『最初に手にした封筒の金額』は高いのです。それなのに両方を『最初に手にした封筒の金額』という同じ言葉で呼ぶことによって、あたかもどちらのケースでも同じ金額であるかのような錯覚を起こさせるのが、この問題のミソでした。
【ケースＣ】
確率１／２で最初に安い封筒を選び、このときもう一つの封筒に２倍のお金が入っている確率は１です。交換すれば１００％の確率で高い金額をゲットして、交換しなければ１００％の確率で安い金額に甘んじます。【ケースＤ】
確率１／２で最初に高い封筒を選び、このときもう一つの封筒に半分のお金が入っている確率は１です。交換すれば１００％の確率で安い金額で、交換しなければ１００％の確率で高い金額を獲得します。ケースＣとＤのどちらになるかは確率１／２ですから（金額の上限や端数などの先見情報がなければ）封筒の中身を見ようが見まいが、封筒を交換してもしなくても、得られる金額の期待値は安い額と高い額の平均の額になります。
