theory of relativity (3)
お待たせしました。シリーズ後半では「Ｅ＝ｍｃ２乗」を世界一簡単な方法で導出します。相対性理論といえば「Ｅ＝ｍｃ２乗」、「Ｅ＝ｍｃ２乗」といえば相対性理論というくらい、メチャクチャに有名な式であります。エドワード・Ｅ・スミスの古典的スペース・オペラ「宇宙のスカイラーク」のセリフを引用しましょう。
「三億五千マイルだ。太陽系からちょうど半分でかかっている。ということは毎秒一光速の加速度ということだ」「そんな速度で走れるはずはないよ、マート。Ｅ＝ＭＣの二乗だよ」「アインシュタインの理論はしょせん理論にすぎんのだよ、ディック。この距離は観察された事実じゃないか」
ワープ航法でも何でもなくて、ひたすら加速推進するだけの宇宙船なのに「理論はしょせん理論にすぎんのだよ」と言うだけで、光速突破しています。スゴいです。完全に理論を無視していますが、とはいえ「黙って無視する」わけにもいかないくらいに有名なのが相対性理論であり、その代名詞が「Ｅ＝ｍｃ２乗」です。
Ｅ＝ｍｃ２乗
その意味は、質量（ｍ）に光速（ｃ）を２回かけたら、エネルギー（Ｅ）の量がそれだけあること。質量そのものがエネルギーの元になっていることを表します。
具体的な例をあげましょう。ウラン２３５に中性子１個を吸収させると、ウラン原子は不安定になり、２つの原子核と高速中性子に分裂します。これが核分裂で、たとえばイットリウム９５とヨウ素１３９と中性子２個になります。ウラン２３５の「２３５」は、原子核が含む陽子と中性子の合計です。ウランの原子番号は９２ですから陽子は９２個で、中性子は１４３個もあります。
【反応前】
ウラン２３５（９２＋１４３）、中性子１個【反応後】
イットリウム９５（３９＋５６）、ヨウ素１３９（５３＋８６）、中性子２個反応前と反応後ともに陽子９２個、中性子１４５個で、その数は変わりません。けれども、核分裂反応では反応の前後で質量がわずかに減ってしまっており、その減少ぶんに光速を２回かけた量のエネルギーが放出されます。核反応だけでなく化学反応でも質量が減っていると考えられますが、その減少分を検出するのは非常に難しいそうです。出てくるエネルギーが核分裂反応にくらべてケタ違いに小さいので、質量の減少もわずかだからです。
１円玉は１グラムです。これをエネルギーに変えたらどのくらいになるでしょう。
１グラムは、１／１０００キログラムです。
光速ｃは３億ｍ／秒です。１／１０００×３億×３億＝９０兆（ジュール）ですね。
エネルギーがデカすぎて、ピンときません。１カロリーは１グラムの水の温度を１℃上げる熱量ですが、１ジュールは約４．２カロリーなので・・・
９０兆（ジュール）／４．２（カロリー／ジュール）＝２１兆（カロリー）となります。
１グラムの水が沸騰するには、温度が１００℃上がるのに１００カロリーの熱量が必要です。１立方メートルの水は１トン＝１０００キログラム＝１００万グラムです。すると、１立方メートルの水が沸騰するには、１億カロリーの熱量が必要です。２１兆カロリーの熱量は、２１万トンの水を沸騰させるぶんに相当します。これだけのエネルギーを一度に浴びせれば、大怪獣を一撃でブチ殺すことができます。スペシウム光線やワイドショットの恐るべき破壊力も、質量換算するとグラム単位なのであった。
Ｅ＝ｍｃ２乗この不思議な式を理解するには、まず、Ｅ・ｍ・ｃそれぞれの記号の意味を理解しないといけません。最初に予告した通り、高校の数学と物理が出てきますが、そこはできるだけていねいに説明します。高校の勉強はどうでも良いから、とにかく「Ｅ＝ｍｃ２乗がわかった！」という気持ちになりたい・・・というのは無理な願望ですので、あしからず。
Ｅはエネルギーで、単位はジュール（Ｊ）です。
ｍは質量で、単位はキログラム（ｋｇ）です。
ｃは光速で、３億（メートル／秒）です。ということは、「エネルギー」と「質量」と「速度」を結びつける関係式ですね。キログラムと速度はわかると思いますが、エネルギーとか、その単位のジュールとかは「聞いたことない」「習ったけど忘れた」という方も多いと思います。前回は熱エネルギーの「カロリー」に換算して考えましたが、これからは運動エネルギーを表す「ジュール」のまま扱います。
１ジュール（Ｊ）は、１ニュートン（Ｎ）の力で１メートル「仕事」をして加えられるエネルギーです。
１ニュートン（Ｎ）は、質量が１キログラムの物体を１（メートル／秒＾２）で加速する力です。これは、１秒ごとに１（メートル／秒）の割合で早さが増すように力を加えることになります。１メートル「仕事」をするとは、物体が１メートル移動する間だけ力を加え続けることです。そして「仕事」とエネルギーは同じものです。
ここまでポンポンと書いてしまいましたが、いきなり物が動いたり加速する話は難しいので、わかりやすい「位置エネルギー」で説明しましょう。
Ｅ＝ｍｇｈ
これが位置エネルギーです。
ｇは重力加速度で、９．８（メートル／秒＾２）です。２階の窓から手を出して、持っている物を落とすと、１秒後には（９．８メートル／秒）の速度に達します。ｈは高さで、単位はメートルです。
質量１キログラムの物体を、地面から１メートルの高さだけ持ち上げるのに必要なエネルギーは９．８（ジュール）です。持ち上げた人は物体に対して９．８（ジュール）の仕事をしたことになります。また、物体は９．８（ジュール）の位置エネルギーを獲得しました。
ここまでが必要な知識です。この後は運動量と力積と微分・積分が出てきます。
今回は、高校で物理を勉強した方のためのオマケです。物体を自由に落下させると（空気の抵抗が無ければ）地上に到達したときに位置エネルギーは０（ジュール）となり、運動エネルギーが９．８（ジュール）になります。
Ｅ＝（１／２）ｍｖ２乗
これが運動エネルギーです。この式も高校で習います。
地上に到達したときの物体の運動エネルギーはＥ＝９．８（ジュール）なので、スピードは、
ｖ＝√（２×９．８）＝４．４３（メートル／秒）です。
ちなみに落下距離は（１／２）ｇｔ２乗となるので、１メートル落下するまでの時間は
ｔ＝√（２／９．８）＝０．４５２秒です。
ストップウォッチがあれば、１メートルの高さから物を落として実験できますね。
それでは一気に「Ｅ＝ｍｃ２乗」まで到達します。チョット長いですが、がんばってほしいと思います。それと、今回は高校数学の微分と積分が出てきます。微積はダメなのよ！という方、ごめんなさい。「ｋ計算法」で、兄と弟の時間の伸び縮みを説明するまでは四則演算と平方根だけだったので、そこまでで許してください。
宇宙空間に質量ｍキログラムの物体がポッカリ浮かんでいます。 この物体にＦニュートンの力を加えて加速しましょう。
Ｆ＝ｍａ
これはニュートンの運動の第２法則で、「力＝質量×加速度」の関係を表します。
・力はＦニュートン
・質量はｍキログラム
・加速度はａメートル／秒＾２
となります。加速度は「時間あたりの速度の変化量」であって
ａ＝ｄｖ（ｔ）／ｄｔ
となります。「ｖ」ではなく「ｖ（ｔ）」と書いたのは、速度ｖが一定ではなく、時間の経過とともに速くなるからです。つまり、速度が時間の関数になっているのですね。そして「ｄｖ（ｔ）／ｄｔ」は、速度の時間微分を表します。速度を時間で微分したものが加速度であり、これがｔによらない一定値ａなら「等加速度運動」です。
ここで短い時間を「Δｔ」、その短い時間で物体に加えられるわずかなエネルギーを「ΔＥ」で表すことにします。
ΔＥ＝Ｆ・ｖ（ｔ）Δｔ
となりますね。前回説明したように「エネルギー＝力×距離」であって、「ｖ（ｔ）Δｔ」が距離を表します。再び宇宙空間に質量ｍキログラムの物体がポッカリ浮かんでいます。今度は速度ｖ（メートル／秒）で運動していることにします。物体が運動していなかったら、観測者のほうが運動すれば同じことです。
この物体にＦニュートンの力をΔｔの時間だけ加えて加速しましょう。
ｍ・ｖ → 力を加える前の運動量です。
ｍ（ｖ＋Δｖ） → 力を加えた後の運動量です。
ｍ・Δｖ＝Ｆ・Δｔ → 力を加える前後の運動量の差です。運動量の差とは、すなわち「力積」です。力積とは、力Ｆと「その力が作用する時間Δｔ」の積でもあります。
ここで、地球から飛び立った兄のロケットを弟が観測する例を思い出してください。
【再掲〜弟の視点では、兄の質量が増えた】
弟の視点では、質量のある物体（兄の乗ったロケット）が、いくらエネルギーを使って加速しても光速に達しないことになります。これは「速くなると質量が増大するからだ」ということにすれば説明できます。そんなの単なるツジツマ合わせでじゃんか！と感じた方、ごもっともです。ですが、実験や観測の結果が理論を裏付けてきたので、誰も文句のつけようがありません。
【再掲ここまで】
・・・というわけで、速度を増すと質量が増加するのでした。
今度は、ある物体が光速ｃに近いスピードになっており、これ以上いくらエネルギーを加えてもほとんど速くならないで、質量が増すばかりであるとします。
ΔＥ → さらに加えるエネルギーです。
Δｍ → それだけのエネルギーを加えたときの質量増加です。ΔＥ＝Ｆ・ｖ（ｔ）Δｔ
という先で示した関係において、「ｖ（ｔ）」は、ほとんど一定の「ｃ」なのでΔＥ＝Ｆ・ｃ・Δｔ
Ｆ＝ΔＥ／（ｃ・Δｔ）
となります。運動量が増加するときは、普通は「質量が一定で速度が増加」しますが、この例では速度が一定のｃで質量のほうが増加します。だから運動量の増加は「Δｍ・ｃ」です。
力を加える前後の運動量の差＝Ｆ・Δｔ ← 上で出てきた。
力を加える前後の運動量の差＝Δｍ・ｃ ← いま出てきた。Ｆ・Δｔ＝Δｍ・ｃ
Ｆ＝Δｍ・ｃ／Δｔ
となります。これに「Ｆ＝ΔＥ／（ｃ・Δｔ）」代入して
ΔＥ／（ｃ・Δｔ）＝Δｍ・ｃ／Δｔ
ΔＥ／Δｔ＝Δｍ・ｃ２乗／Δｔ「ΔＥ」と「Δｍ」は、微小時間「Δｔ」における変化量だから、時間で微分したのと同じです。これを積分すれば、おまちかねの式が登場します。
Ｅ＝ｍｃ２乗
積分したから積分定数Ｃが現れるはずですが、エネルギー増が０のときに質量増が０となるはずなので、Ｃ＝０としました。・運動量
・力積
・微分
・積分「ローレンツ変換」や「４元ベクトル」に触れず、高校で学習する内容のみで「Ｅ＝ｍｃ２乗」に到達しました。これが世界一簡単な方法です。たぶん。
これで大きなヤマは超えました。このあとは「こんな計算やって、良かったのか？」という検証をします。
ついに「Ｅ＝ｍｃ２乗」を導出したのが前回です。何かゴマかされたような気がした方もいらっしゃるでしょう。そらぁ、そうです。確かにエネルギーと質量の関係を導きはしましたが、その「質量」が、普通の質量ではありません。光速に近い猛烈なスピードが出ている状況で、さらにエネルギーを投入したときに「質量が増えたようにみえるぶん」という、ワケのわからない質量です。
やはり我々にとってなじみ深いのは、増加する前の普通の質量。「静止質量」ですよね。
前回導出した「Ｅ＝ｍｃ２乗」が、静止質量にもそのまま通用するのか？と問われると、じゃっかん心もとなく感じますが、それでも「質量」は「質量」であって、「質量に貴賤上下の区別なし」「天は質量の上に質量を作らず、質量の下に質量を作らず」とも言いますので、ひらきなおっておきましょう。
それよりも、問題があるのはむしろ一般の教科書や解説書です。もっとさかのぼると、アインシュタイン先生です。ゴマかしているのは、彼のほうなのです。ほとんどヤマカンで「エネルギー＝静止質量×光速の２乗です」と言ってのけました。それが正しいことは、後から実験によって確かめられたのです。
普通の本には、前回示したのとは違う説明・・・すなわちローレンツ変換と４元ベクトルにもとづいて説明してあります。それでも「Ｅ＝ｍｃ２乗」の導出にあたって、やはり積分計算が出てきます。良心的な教科書には、そこのところで「エネルギー＝静止質量×光速の２乗になる様に、積分定数を選択しました」と書いてあります。もっとスゴい本には「エネルギー＝静止質量×光速の２乗になる数学的な根拠なんか全然無いのに、アインシュタインが勝手に決めた」みたいなことが書いてあります。マジです。
もちろん「勝手に決めた」とまでは書いてありませんけど。
・さすがアインシュタイン、見事な霊感であった
・「自然はシンプルに違いない」というアインシュタインの信念という美しい表現になっております。
そして一般向けの解説書では、たいてい「ハイッ！エネルギー＝静止質量×光速の２乗になりましたね！」と書いてオシマイにしています。それにくらべると「サルでもわかる相対性理論」は良心的で、かつレベル高いですよ。マジです。
前回行なった「Ｅ＝ｍｃ２乗」の導出は、既存の本を参考にしているものの、全体の流れを表す計算式、そして最後が「ゴマカシ」ではなく「ひらきなおり」である点は、私のオリジナルです。相対性理論は、様々な角度から思い描くことができるので、百人百様の解説が可能なのです。
そのはずなのですが、しかし大きな書店の棚に２０〜３０冊も並んだ本の内容は、似たりよったりの感もあります。
「Ｅ＝ｍｃ２乗」の導出が「簡単すぎて物足りなかった」という方のための補講をやります。高校までの数学と物理はしっかり勉強しましたと、胸を張って（あるいはやや下方を見ながらでも）言えるような方が対象です。位置エネルギーを表す「Ｅ＝ｍｇｈ」のほかに、運動エネルギーを表す「Ｅ＝（１／２）ｍｖ２乗」という式も、高校物理の重要なポイントです。運動エネルギーは速度の２乗に比例するのですね。そのことは運転免許取得の際に学科講習で教わります。時速５０キロで走る自動車の運動エネルギーは、時速４０キロにくらべて５／４＝１．２５→２５％増し・・・ではなくて、２５／１６＝→１．５６→５６％増しです。そのため、衝突事故を起こしたときの衝撃がたいへん大きくなるのですね。スピードは控えめにしましょう。
「Ｅ＝ｍｇｈ」が位置エネルギーであることは、質量に比例して高さにも比例することから直観で納得できますが、「Ｅ＝（１／２）ｍｖ２乗」が運動エネルギーだというのは、２乗の部分がちょっと難しいです。でも、形式が「Ｅ＝ｍｃ２乗」に近いですよね。ｖは速度ですから、もしこれが光速ｃであれば、たちどころに・・・
Ｅ＝（１／２）ｍｃ２乗
となります。ぶっちゃけ、（１／２）がついているかどうかの違いしかありません。高校で習った式から（１／２）をとれば、それでもう「Ｅ＝ｍｃ２乗」に到達するのだから、高校物理から相対性理論へのステップアップは楽勝っぽい気がします。そのような発想から、「世界一簡単な方法」をご紹介しました。
ところがどうゆうワケか、一般向けの解説書では「Ｅ＝（１／２）ｍｖ２乗」という、高校レベルの運動エネルギーの式などは解説されていないことがあります。それはおかしいでしょう。「Ｅ＝ｍｃ２乗」とは、エネルギーと質量と速度の関係を表す式なのですから、まずはその関係をニュートン力学や高校物理のレベルでしっかりと理解することが肝要です。
そこんところをスッとばして、とにかく読者を「Ｅ＝ｍｃ２乗がわかった！」という気持ちにさせたいよ・・・などと画策するのはサル以下です。そのような事情から、いつまでたっても似たような本が出版されて、多くの人が同じような本をまた買って読んでは「いまいちワカらなかった」と嘆きつつ、またしばらくすると再び似たような本を買ってしまうという、永久無限運動を繰り返すのであった。
まぁ、既存の解説書を「サル以下」呼ばわりするのはあんまりですけれど。それでも「Ｅ＝（１／２）ｍｖ２乗」を理解していない人が「ローレンツ変換」や「４元ベクトル」をコネくりまわして、形式的に「Ｅ＝ｍｃ２乗」という数式を得たとしても、その知識がしっかりと血肉になるのでしょうか。
というワケで、高校で習う「Ｅ＝（１／２）ｍｖ２乗」を説明します。宇宙空間に質量ｍキログラムの物体がポッカリ浮かんでいます。
この物体にＦニュートンの力を加えて加速しましょう。Ｆ＝ｍａ
これはニュートンの運動の第２法則で、「力＝質量×加速度」の関係を表します。
・力はＦニュートン
・質量はｍキログラム
・加速度はａメートル／秒＾２
となります。加速度は「時間あたりの速度の変化量」で
ａ＝ｄｖ（ｔ）／ｄｔ
となります。ここで短い時間を「Δｔ」、その短い時間で物体に加えられるわずかなエネルギーを「ΔＥ」で表すことにします。
ΔＥ＝Ｆ・ｖ（ｔ）Δｔ となりますね。
「Ｆ」は物体に加え続ける一定の力、「ｖ（ｔ）Δｔ」は速度ｖ（ｔ）でΔｔの時間動いた距離です。既に説明した「エネルギー＝力×距離」の関係を表します。
Ｆ＝ｍａ＝ｍ・ｄｖ（ｔ）／ｄｔ
を代入しましょう。ΔＥ＝ｍ（ｄｖ（ｔ）／ｄｔ）ｖ（ｔ）Δｔ
微小量を表すΔをｄに変えて、時間で積分すると
Ｅ＝（１／２）ｍｖ（ｔ）２乗
となります。積分したから積分定数Ｃが現れるはずですが、エネルギー増が０のときに速度増が０のはずなので、Ｃ＝０としました。
積分計算が正しいことを確かめるには、これを微分すればよろしい。
Ｅ＝（１／２）ｍｖ（ｔ）２乗
この式の左辺は単純にｔで微分します。右辺は「ｖ（ｔ）」で微分してから「ｄｖ（ｔ）／ｄｔ」をかけます。
ｄＥ／ｄｔ＝ｍ・ｖ（ｔ）（ｄｖ（ｔ）／ｄｔ）
ｄＥ＝ｍ（ｄｖ（ｔ）／ｄｔ）ｖ（ｔ）ｄｔ微小量を表すｄをΔに変えれば、元通りです。これで確かめられました。
